Τι είναι μια γεωμετρική πρόοδος;
Η γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε όρος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο όρο με ένα καθορισμένο αριθμό. Ο αριθμός εκείνος είναι ο "πολλαπλασιαστής" ή «κοινός λόγος».
Για παράδειγμα, το $ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... $ είναι μια γεωμετρική ακολουθία που ξεκινά με τον αριθμό δύο και έχει κοινή αναλογία το δύο.
Το $ { 6, 30, 150, 750,… } $ είναι επίσης μια γεωμετρική ακολουθία, που ξεκινά με το έξι και έχει κοινή αναλογία πέντε.
Μπορούμε επίσης να έχουμε κλασματικούς πολλαπλασιαστές όπως στην ακολουθία $ { 48, 24, 12, 6, 3,… } $ που έχει κοινό λόγο 1/2.
Αθροίζοντας μια γεωμετρική πρόοδο
Μερικές φορές θέλουμε να βρούμε το άθροισμα κάποιων όρων μιας γεωμετρικής ακολουθίας. Αν δεν υπάρχουν πολλοί όροι για να μετρήσουμε, αυτό είναι εύκολο. Ωστόσο, εάν θέλουμε να προσθέσουμε γρήγορα τους πρώτους 50 όρους, για παράδειγμα, η απλή πρόσθεση τους θα πάρει πολύ χρόνο. Θέλουμε ένα πιο σύντομο δρόμο. Χρησιμοποιώντας λίγη άλγεβρα και ένα έξυπνο τέχνασμα, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια φόρμουλα, έναν τύπο για να βρίσκουμε γρήγορα το άθροισμα μιας προόδου ανεξάρτητα από τον αριθμό των όρων που μετράμε.
Τα μαθηματικά
Για να δημιουργήσουμε αυτόν τον τύπο, πρέπει πρώτα να δούμε ότι οποιαδήποτε γεωμετρική ακολουθία μπορεί να γραφτεί με τη μορφή $ { a, a \cdot r, a \cdot r^2, a \cdot r^3,…} $ όπου $ a $ είναι ο πρώτος όρος και $ r $ είναι η κοινή αναλογία.
Παρατηρήστε ότι επειδή ξεκινάμε με το $ a $ και η αναλογία, $ r $, εμπλέκεται μόνο από το δεύτερο όρο και μετά, ο νιοστός όρος είναι ο $ a \cdot r ^ {n−1} $. Για παράδειγμα, ο 6ος όρος γράφεται ως $ a \cdot r^5 $ , ο 100ος όρος $ a \cdot r^{99} $ και ούτω καθεξής.
Ως εκ τούτου, έχουμε ότι το άθροισμα $ S_n $ των πρώτων n όρων, δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:
$ S_n = a + a \cdot r + a \cdot r_2 + a \cdot r_3 + ... + a \cdot r ^ {n−2} + a \cdot r ^ {n−1} $
Εάν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές με $ r $, έχουμε:
$ r \cdot S_n = a \cdot r + a \cdot r_2 + a \cdot r_3 + ... + a \cdot r ^ {n−1} + a \cdot r ^ n $
Εάν αφαιρέσουμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη εξίσωση θα πάρουμε $ a \cdot r - a \cdot r, a \cdot r_2 - a \cdot r_2 $ και ούτω καθεξής. Στην πραγματικότητα, οι περισσότεροι από τους όρους στα δεξιά θα "ακυρωθούν", αφήνοντάς μας μόνο ένα $ - a \cdot r^n $ .
Ακυρώνοντας όρους
Με την ακύρωση των όρων έχουμε πλέον:
$ S_n - r \cdot S_n = a - a \cdot r^n $
Η παραγοντοποίηση μας δίνει:
$ (1 - r ) \cdot S_n = a \cdot (1 - r^n) $
Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το $ (1 - r) $ παίρνουμε τον τελικό τύπο:
$ S_n = \frac { a \cdot (1 - r^n) } { 1 - r } $
όπου a είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας και r είναι ο κοινός λόγος. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα οποιοδήποτε πλήθους όρων της γεωμετρικής προόδου με λίγες πράξεις.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο
Έστω ότι παίρνουμε την ακολουθία $ { 2, 6, 18, 54, 162,… } $ Μπορούμε να δούμε γρήγορα ότι $ a = 2. $ Για να βρούμε τον κοινό λόγο απλώς διαιρούμε οποιονδήποτε όρο με τον προηγούμενο όρο, έτσι $ r = 6 / 2 = 3 $ .
Αν θέλαμε να βρούμε το άθροισμα των πρώτων δέκα όρων χρησιμοποιώντας τον τύπο μας θα είχαμε:
$ S_n = \frac { a \cdot (1 - r^n) } { 1 - r } $
$ S_{10} = \frac { 2 \cdot (1 - 3^{10}) } { 1 - 3 } $
$ S_{10} = \frac{ 2 \cdot (1 - 59049) } { - 2 } $
$ S_{10} = \frac { 2 \cdot ( - 59048 ) } { - 2 } $
$ S_{10} = 59048 $
Αθροίζοντας μια γεωμετρική ακολουθία στο άπειρο
Για οποιαδήποτε γεωμετρική ακολουθία με πολλαπλασιαστή οποιονδήποτε αριθμό που βρίσκεται ανάμεσα στο -1 και 1, μπορούμε να δούμε ότι οι όροι θα γίνουν μικρότεροι σε απόλυτο μέγεθος καθώς η ακολουθία εξελίσσεται (αν πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με έναν οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ -1 και 1, το μέγεθος θα μειωθεί).
Καθώς οι όροι γίνονται όλο και μικρότεροι, έρχεται ένα σημείο όπου η προσθήκη τους κάνει μια αμελητέα διαφορά στο σύνολο οπότε το άθροισμα κατευθύνεται προς μια συγκεκριμένη τιμή, αλλά ποτέ δεν το φτάνει ούτε το ξεπερνά! Ονομάζουμε αυτό το όριο «άθροισμα σε άπειρο» και μπορούμε να προσαρμόσουμε τον τύπο για να μάθουμε τι είναι αυτό.
Έχουμε τον τύπο $ S_n = \frac { a \cdot (1 - r^n) } { 1 - r } $
Εάν $ -1 < r < 1 $, τότε καθώς το $ n $→ ∞, θα ισχύει και ότι $ r ^ n $ → 0. Επομένως, καθώς πλησιάζουμε στο άπειρο, το $ r ^ n $ στο επάνω μέρους του κλάσματός μας "εξαφανίζεται" και έτσι παίρνουμε:
$ S_{∞} = \frac { a \cdot (1 - 0) } { 1 - r } $
$ S_{∞} = \frac { a } { 1 - r } $
Παράδειγμα αθροίσματος μιας γεωμετρικής ακολουθίας στο άπειρο
Ας πάρουμε την ακολουθία $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},… $ που έχει $ α = 1 $ και $ r = \frac{1}{2} $.
Αν $ -1 < r < 1 $, μπορούμε να βρούμε το άθροισμα έως το άπειρο αυτής της ακολουθίας:
$ S_{∞} = \frac { a } { 1 - r } $
$ S_{∞} = \frac { 1 } { 1 - 1/2 } $
$ S_{∞} = \frac { 1 } { 1/2 } $
$ S_{∞} = 2 $
Επομένως, αν υπολογίζαμε το άθροισμα $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} +… $ και συνεχίζαμε ως το άπειρο, η απάντησή θα έτεινε προς τον αριθμό 2!