Ο Κάντορ, τα σύνολα και το άπειρο

O Γκέοργκ Κάντορ έχει περάσει στην ιστορία των μαθηματικών ως ένας από τους πιο φημισμένους σκαπανείς της επιστήμης. Γενημμένος στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας το 1845, ο Κάντορ μετακόμισε από παιδί στη Γερμανία όπου μεγάλωσε, σπούδασε και μεγαλούργησε δίνοντας στα Μαθηματικά πάρα πολλά. Μέχρι το 1918 που πέθανε, μετά από μεγάλη περίοδο φτώχειας, πρόλαβε να δημιουργήσει τη Θεωρία Συνόλων, που έγινε βασική θεωρία στα Μαθηματικά, να εγκαθιδρύσει την 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των μελών δύο συνόλων, να ορίσει άπειρα σύνολα από... άπειρα στοιχεία, να αποδείξει ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι περισσότεροι από τους φυσικούς αριθμούς, να εισάγει θεμελιώδεις έννοιες, όπως το δυναμοσύνολο, να μιλήσει για τη Υπόθεση του Συνεχούς και άλλα πολλά.

Η μαθηματική δουλειά του Κάντορ με τα σύνολα είχε και τεράστιο φιλοσοφικό ενδιαφέρον, πράγμα που ο ίδιος γνώριζε, και αυτό ήταν η αιτία μάλλον για τις αντιδράσεις που δέχτηκε από άλλους μαθηματικούς της εποχής του. Βασικός παράγοντας για την ανάμειξη της φιλοσοφίας με τα μαθηματικά ήταν η πιο «μυστηριώδης» έννοια των μαθηματικών, το άπειρο. Το άπειρο ήταν βέβαια γνωστό σαν έννοια στα Μαθηματικά (και το σύμβολο $ \infty $ του άπειρου είχε ήδη εισαχθεί από τον John Wallis το 1655) αλλά κανείς δεν είχε κατανοήσει τη σημασία του. Και τα σύνολα ήταν γνωστά, ήδη από τον Αριστοτέλη, αλλά η έννοια του συνόλου θεωρούνταν μάλλον στοιχειώδης. Έτσι, πριν τον Κάντορ, υπήρχαν μόνο δύο είδη συνόλων: τα πεπερασμένα και τα «άπειρα», τα οποία όμως έτειναν να απασχολούν περισσότερο για φιλοσοφική, παρά μαθηματική, συζήτηση. 

Μέχρι τον Κάντορ, ελάχιστοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν να μελετήσουν το άπειρο και δη τα άπειρα σύνολα. Ο Κάντορ όμως εστίασε τις έρευνες του γύρω από αυτό, προσπαθώντας να του δώσει έναν πιο δομημένο ορισμό. Σύντομα, οι προσπάθειες του στέφθηκαν από απόλυτη επιτυχία. Ένα από τα πρώτα ερευνητικά του αποτελέσματα ήταν η απόδειξη ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι «υπεραριθμήσιμοι», δηλαδή περισσότεροι από τους φυσικούς αριθμούς. Με βάση αυτό, ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν (απείρως) πολλά πιθανά μεγέθη για άπειρα σύνολα. Αυτό σήμαινε ότι η θεωρία συνόλων ήταν πολύ πιο σημαντική, πράγμα που φάνηκε πολύ σύντομα μια και η θεωρία αυτή έγινε η βάση για τα μοντέρνα μαθηματικά, με την έννοια ότι ερμηνεύει έννοιες (όπως, οι αριθμοί και οι συναρτήσεις) από όλους τους τομείς των παραδοσιακών μαθηματικών (της Άλγεβρας, της Μαθηματικής Ανάλυσης και της Τοπολογίας) σε μία ενιαία θεωρία, και παρέχει ένα σύνολο από αξιώματα προς απόδειξη ή όχι. 

Για να καταλάβει κανείς το μέγεθος της συμβολής του Κάντορ στα Μαθηματικά, αρκεί να σκεφτεί ότι μέχρι την εποχή που δημοσιεύθηκε η κύρια εργασία του (1874), οι μαθηματικοί είτε δεν δέχονταν τα άπειρα σύνολα (Λ. Κρόνεκερ) είτε δεν μπορούσαν να δεχτούν ότι δύο άπειρα σύνολα μπορούν να είναι ουσιωδώς διαφορετικά ως προς το μέγεθος, με το ένα να είναι αριθμήσιμο και το άλλο όχι-αριθμήσιμο (Κ. Βάιερστρας). Ο Κάντορ ανέτρεψε όλα αυτά μονομιάς. 

Η Θεωρία Συνόλων και τα είδη απείρου

Στην αρχή της καριέρας του, ο Κάντορ ασχολήθηκε με την θεωρία αριθμών και τις τριγωνομετρικές σειρές. Μάλιστα το 1869 έλυσε ένα ανοικτό πρόβλημα: την μοναδικότητα της αναπαράστασης μιας συνάρτησης με τριγωνομετρικές σειρές. Όμως, η πρώτη μεγάλη συνεισφορά του Κάντορ στα Μαθηματικά ήρθε το 1874 με την εργασία "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers"). Στην εργασία αυτή, που ήταν λιγότερο από 5 σελίδες, ο Κάντορ έδωσε μια καθαρή εικόνα ότι υπάρχουν περισσότερα από ένα είδη απείρου, αποδεικνύοντας ότι το σύνολο των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών (δηλαδή πραγματικών αριθμών που είναι ρίζες πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές) ειναι αριθμήσιμα άπειρο ενώ το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μη-αριθμήσιμα άπειρο. Δηλαδή και τα δύο σύνολα είναι άπειρα, αλλά οι αλγεβρικοί είναι λιγότεροι από τους πραγματικούς.

Ουσιαστικά στην εργασία εκείνη ο Κάντορ απέδειξε δύο θεωρήματα:

1ο θεώρημα: Το σύνολο των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως 1-1 αντιστοιχία με τους θετικούς ακέραιους αριθμούς.

2ο θεώρημα:  Για οποιαδήποτε ακολουθία πραγματικών αριθμών και οποιοδήποτε διάστημα [a, b] υπάρχει αριθμός στο  [a, b] που δεν ανήκει στην ακολουθία. Έτσι, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μη-αριθμήσιμα άπειρο.

Μέχρι τότε, οι μαθηματικοί θεωρούσαν ως δεδομένο ότι τα άπειρα σύνολα ήταν πάντα «ίδιου μεγέθους» ή αν θέλετε ότι οποιαδήποτε δύο άπειρα σύνολα είχαν τελικά τον ίδιο αριθμό από στοιχεία. Ο Κάντορ έδειξε κάτι εντελώς διαφορετικό. Απέδειξε ότι δύο άπειρα σύνολα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών $ \Re $ και των σύνολο των θετικών ακέραιων αριθμών $ Ν $,  δεν είναι ισάριθμα, δεν έχουν το ίδιο πλήθος από στοιχεία ή, πιο μαθηματικά, δεν έχουν τον ίδιο πληθάριθμο. Με άλλα λόγια, έδειξε ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμοι.  Με την απόδειξη του, ο Κάντορ έδινε και μια νέα μέθοδο κατασκευής υπερβατικών αριθμών (τους οποίους είχε μελετήσει ο Joseph Liouville το 1844) δηλαδή αριθμών που δεν είναι ρίζες/λύσεις κανενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Τυπικά παραδείγμα υπερβατικών αριθμών είναι οι διάσημοι αριθμοί $ \pi $ και $ e $.

Για να αποδείξει τα δύο θεωρήματά του,  και να φτάσει σε αυτά τα αποτελέσματα, ο Κάντορ χρησιμοποίησε δύο κατασκευές. Με την πρώτη κατασκευή, στο πρώτο θεώρημα, ο Κάντορ έγραψε τους πραγματικούς αλγεβρικούς αριθμούς ως μία ακολουθία a1, a2, a3, ....   δηλαδή ως μια 1-1 αντιστοιχία με τους θετικούς ακέραιους αριθμούς.  Με τα δικά του λόγια: Το σύνολο των πραγματικών αλεβρικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως μια άπειρη ακολουθία όπου κάθε αριθμός εμφανίζεται μόνο μια φορά.  Έτσι, οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμοι.

Για τη δεύτερη κατασκευή του, ο Κάντορ ξεκινά με μια τυχαία ακολουθία πραγματικών αριθμών και ένα κλειστό διάστημα [a,b] όπου α < b. Χρησιμοποιώντας αυτή την ακολουθία, κατασκεύασε εγκιβωτισμένα διαστήματα  (a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), ... έτσι ώστε κάθε ένα διάστημα να περιέχει όλα τα επόμενα. Αυτό συνεπάγεται ότι οι αριθμοί στην ακολουθία a1,a2, a3... είναι αυξανόμενοι ενώ οι αριθμοί στην b1, b2, b3,... μειώνονται. Το σύνολο αυτών των διαστημάτων είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο. Για κάθε περίπτωση, ο Κάντορ απέδειξε ότι υπάρχει πάντα ένας πραγματικός αριθμός μέσα στο [a, b] που δεν ανήκει στην αρχική ακολουθία.

Καθώς, από κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί ένας πραγματικός που δεν ανήκει σε αυτήν, οι πραγματικοί αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν ως ακολουθία, που συνεπάγεται πως οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήσιμοι.  Επιπλέον, εφαρμόζοντας την παραπάνω κατασκευή σε μία ακολουθία πραγματικών αλγεβρικών αριθμών, ο Κάντορ σημείωνε ότι ουσιαστικά οδηγεί σε μία νέα απόδειξη στο θεώρημα του Liouville πως κάθε διάστημα περιέχει άπειρους υπερβατικούς αριθμούς.

Μέχρι το 1884, ο Κάντορ δημοσίευσε μια σειρά από 6 εργασίες που όλες μαζί θεμελίωναν τη Θεωρία Συνόλων ως έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών. Στην επόμενη εργασία του, το 1878, έδινε τον τυπικό ορισμό της 1-1 αντιστοιχίας (αυτό που σήμερα ονομάζουμε αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση), και εισήγαγε την έννοια της «δύναμης» ενός συνόλου ως ένα μέτρο ισοδυναμίας. Παράλληλα, έδινε μία απόδειξη  ότι το σύνολο των άρρητων αριθμών έχει την ίδια «δύναμη» με το σύνολο των φυσικών αριθμών, και είναι αριθμήσιμο. Επίσης, έδειξε ότι ο χώρος $ R^n $ έχει την ίδια δύναμη με τους πραγματικούς ή, όπως έγραφε στον Ντέντεκιντ, ότι υπάρχει 1-1 αντιστοιχία ανάμεσα στα σημεία του διαστήματος [0, 1]  και σε όλα τα σημεία του ν-διάστατου χώρου! Στο ίδιο άρθρο ο Κάντορ αναφέρθηκε για πρώτη φορά και στην Υπόθεση του Συνεχούς, προτείνοντας ότι ισχύει, πράγμα που θα προσπαθούσε ανεπιτυχώς να κάνει στην υπόλοιπη ζωή του. Αυτή η εργασία ήταν η θρυαλλίδα από την οποία ξεκίνησε η διαμάχη με τον έτερο μεγάλο Γερμανό μαθηματικό, τον Λ. Κρόνεκερ.

Στο πέμπτο άρθρο του που δημοσιεύθηκε το 1883 με τίτλο "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ή "Foundations of a General Theory of Aggregates", ο Κάντορ έδωσε μια απάντηση στην κριτική που δεχόταν ήδη η θεωρία του. Παράλληλα, εκεί έδειχνε ότι οι υπεραριθμήσιμοι αριθμοί είναι απλά μια επέκταση των φυσικών αριθμών. Και στη συνέχεια εισήγαγε τους διατακτικούς αριθμούς ως τον βαθμό των καλά διατεταγμένων συνόλων, καθώς και την πρόσθεση και πολλαπλασιασμο των διατακτικών και πληθικών αριθμών. Το 1885, ο Κάντορ επέκτεινε τη θεωρία του ώστε και οι πληθικοί αριθμοί να είναι μια ειδική περίπτωση βαθμού.

Το 1879, ο Κάντορ δημοσίευσε την κομψή μέθοδο του "Διαγώνιου Επιχειρήματος", για την ύπαρξη ενος μη αριθμήσιμου συνόλου. Με την ίδια ιδέα, απέδειξε το θεώρημα που πλεον είναι γνωστό ως Θεώρημα του Κάντορ: ο πληθάριθμος του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου Α είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο του ίδιου του Α.  Αυτό το θεώρημα εγκαθιδρύει έναν τεράστιο πλούτο στην ιεραρχία των άπειρων συνόλων, καθώς και στην αριθμητική των διατακτικών και πληθαρίθμων. Μάλιστα, η μέθοδος που χρησιμοποίησε για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα συνεπάγεται και ένα ακόμα ωραίο μαθηματικό αποτέλεσμα: την ύπαρξη μιας απειρίας απο άπειρα σύνολα. 

Οι δύο όψεις του... απείρου

Με την εργασία του, ο Κάντορ επιχείρησε να διαμελίσει την έννοια του απείρου, μετρώντας τα στοιχεία του. Χρησιμοποιώντας την θεωρία συνόλων, κατέληξε πως υπάρχουν διαφορετικές όψεις της ίδιας έννοιας. Αν για παράδειγμα πάρουμε στη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς (1,2,3,4,...) τότε προφανώς θα φτάσουμε ως το άπειρο. Αν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας, πάλι θα φτάσουμε στο άπειρο, όμως με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο.

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών υπάρχει μια συγκεκριμένη και σαφής πορεία προς το άπειρο. Κάθε αριθμός απέχει απόσταση ίση με «1» από τον προηγούμενο του, ενώ μπορεί να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του συνόλου με έναν πεπερασμένο αριθμό. Από την άλλη, δεν υπάρχει καμία τεχνική για να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υπάρχει και άλλο στοιχείο. Η έννοια του απείρου είναι πολύ πιο ισχυρή πάνω στην ευθεία, ή αντίστοιχα πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Χαρακτηρίζοντας το άπειρο

Υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι να φτάσει κανείς στο άπειρο. Αυτό που διαφέρει σε κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» με την οποία μπορεί να το προσεγγίσει. Ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από... μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες. Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο είτε υπεραριθμήσιμο.

Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο υποκατηγοριών είναι πολύ αυστηρά ορισμένη. Αν τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να «μετρηθούν» μέσω κάποιας αντιστοιχίας τότε το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Για παράδειγμα, η πορεία των φυσικών αριθμών προς το άπειρο αντιστοιχεί στον ίδιο τους τον εαυτό. Κάθε στοιχείο αποτελεί και έναν φυσικό αριθμό, έχει δηλαδή μια συγκεκριμένη «ταυτότητα» που το ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της ευθείας δεν υπάρχει κατάλληλη αντιστοιχία που να καλύπτει όλο το σύνολο. Αφού λοιπόν το σύνολο δεν μπορεί να μετρηθεί, τότε χαρακτηρίζεται ως υπεραριθμήσιμο.

Η Υπόθεση του Συνεχούς 

Η Υπόθεση του Συνεχούς (Continuum Hypothesis - CH) περιγράφηκε από τον Κάντορ το 1878, και λέει:

Δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η πληθικότητα να είναι αυστηρά ανάμεσα σε εκείνη των ακεραίων και των πραγματικών αριθμών.

Στην αρχική εργασία του στα σύνολα το 1874, ο Κάντορ απέδειξε ότι οι ακέραιοι είναι άπειροι αλλά λιγότεροι από τους πραγματικούς, αλλά δεν έλεγε τίποτε για το πόσο λιγότεροι ήταν. Με την Υπόθεση του Συνεχούς, προσπάθησε να απαντήσει στο ερώτημα αυτό, προτείνοντας ότι δεν υπάρχει άλλο άπειρο σύνολο που να έχει μέγεθος μεγαλύτερο από των ακεραίων αλλά μικρότερο από τους πραγματικούς. Ουσιαστικά, η ΥΣ λέει ότι το σύνολο των πραγματικών έχει τη μικρότερη δυνατή πληθικότητα που  είναι μεγαλύτερη από εκείνη των ακεραίων.

Αν αναρωτιέστε πως γίνεται αυτό, σκεφτείτε τους ρητούς αριθμούς. Γνωρίζουμε πως οι ρητοί είναι υπερσύνολο των ακεραίων, και υποσύνολο των πραγματικών. Διαισθητικά, λοιπόν, θα λέγαμε ότι οι ρητοί είναι περισσότεροι από τους ακεραίους και λιγότερο από τους πραγματικούς. Όμως αυτό δεν ισχύει γιατί και τα τρία συνολα είναι άπειρα, και αποδεικνύεται (ο Κάντορ το απέδειξε) ότι οι ρητοί έχουν τον ίδιο πληθάριθμο με τους ακέραιους,  που συμβολιζεται με $ \aleph _{0} $, αφού μπορούν να τεθούν σε 1-1 αντιστοιχία με αυτούς. Με πιο απλά λόγια, οι ρητοί έχουν το ίδιο μέγεθος με τους ακέραιους, είναι και οι δυο αριθμήσιμα σύνολα.

Με δεδομένο ότι οι πραγματικοί έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων με το δυναμοσύνολο των φυσικών, δηλαδή ισχύει $ c = 2^{ \aleph _{0} } > \aleph _{0} $, η Υπόθεση του Συνεχούς είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:

$$  2^{ \aleph _{0} } = \aleph _{1} $$

αφού η $  \aleph _{1} $ είναι η μικρότερη πληθικότητα μετά την  $  \aleph _{0} $.

Ο Κάντορ ήταν πεπεισμένος ότι η Υπόθεση ισχύει και προσπάθησε να το αποδείξει χωρίς επιτυχία. Λέγεται ότι αυτή η επίμονη, δίχως αποτέλεσμα, προσπάθεια ήταν ένας ακόμα λόγος για την ταραγμένη ψυχική του υγεία.

Ο Χίλμπερτ έβαλε την Υπόθεση αυτή ως πρώτη στη περίφημη λίστα  με τα 23 άλυτα προβλήματα που έθεσε στη μαθηματική κοινότητα το 1900, στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών που έγινε στο Παρίσι. 

Μέχρι σήμερα, το μόνο που έχει αποδειχτεί για την ΥΣ είναι ότι είναι αδύνατο να αποδειχτεί η αλήθεια ή το ψέμα της Υπόθεσης μέσα στα πλαίσια της Αξιωματικής Θεωρίας Συνόλων Zermelo–Fraenkel (ZF) ή και με το αξίωμα της Επιλογής (ZFC).

Το Σύνολο του Κάντορ

Την ίδια περίοδο, ο Κάντορ εισήγαγε φορμαλιστικά το ομώνυμο «Σύνολο Κάντορ» που είχε ανακαλύψει λίγα χρόνια πριν ο Άγγλος μαθηματικός  Henry John Stephen Smith. Το Σύνολο αυτό αποτελείται από σημεία ενός ευθύγραμμου τμήματος αλλά έχει αξιοσημείωτες ιδιότητες. Κατασκευάζεται με μια επαναληπτική διαδικασία, αφαιρώντας το μεσαίο ένα τρίτο του ευθύγραμμου τμήματος και επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για τα μικρότερα κομμάτια που απομένουν.  

Για παράδειγμα, ξεκινώντας από το μοναδιαίο διάστημα [0,1] και αφαιρώντας το μεσαίο κομμάτι $ (  \frac {1} {3},  \frac {2} {3} ) $, απομένει το σύνολο $ [0,  \frac {1} {3} ] ∪ [  \frac {2} {3}, 1] $. Συνεχίζοντας τη διαδικασία επ'άπειρον, και αφαιρώντας πάντα το μεσαίο ανοικτό διάστημα, το νιοστό σύνολο είναι 

$$ C_{n} = { \frac {C_{n-1}} {3} } \cup ( {\frac {2}{3}} +{\frac {C_{n-1}}{3}}) $$

για $$ n  \geq 1 $$ 

και $$ C_{0}=[0,1] $$

Το ενδιαφέρον με το σύνολο του Κάντορ είναι ότι λόγω της κατασκευής του, μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο από το αρχικό μοναδιαίο διάστημα απομένει σε αυτό από το άθροισμα των κομματιών που αφαιρέσαμε, που είναι: 

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots =  \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1 $$

Δηλαδή το σύνολο των μηκών του τμημάτων που αφαιρέσαμε ισούται με το μήκος του αρχικού διαστήματος, άρα το σύνολο του Κάντορ θα έπρεπε να περιέχει $ 1 - 1 = 0 $. Με πιο μαθηματικά λόγια, το σύνολο του Κάντορ δεν μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε διάστημα μη-μηδενικού μήκους.

Στην πραγματικότητα όμως το Σύνολο Κάντορ περιέχει κάτι, και μάλιστα αυτό το κάτι είναι άπειρο! Κι αυτό γιατί σε κάθε βήμα κατασκευής του Συνόλου αφαιρούσαμε το μεσαίο ένα τρίτο που ήταν ένα ανοικτό διάστημα, δηλαδή δεν αφαιρούσαμε τα άκρα του. Π.χ. στο πρώτο βήμα αφαιρέσαμε το $ (  \frac {1} {3},  \frac {2} {3} ) $ αλλά δεν αφαιρέσαμε τα σημεία $  \frac {1} {3} $,  και $ \frac {2} {3}  $. Ούτε στα επόμενα βήματα αφαιρούνται αυτά τα σημεία (ούτε τα σημεία που είναι άκρα στα υπόλοιπα "μεσαία" τρίτα κομμάτια των συνόλων σε κάθε βήμα)!  Οπότε όχι μόνο το Σύνολο του Κάντορ δεν είναι κενό, αλλά περιέχει κι αυτό ένα μη-αριθμήσιμο άπειρο αριθμό σημείων. 

Οι διαμάχες και η κατάθλιψη

Στην πορεία, ο Κάντορ απέκτησε δυστυχώς και εχθρούς όπως τον φημισμένο Γερμανό μαθηματικό Λεοπόλδο Κρόνεκερ, ο οποίος δεν μπορούσε να χωνέψει ότι ο πρώτος μιλούσε για την ύπαρξη συνόλων που έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες, χωρίς ποτέ να δίνει συγκεκριμένα παραδείγματα με σύνολα των οποίων τα μέλη να ικανοποιούν αυτές τις ιδιότητες! Για την ακρίβεια, ο Κρόνεκερ θεωρούσε ότι οι μαθηματικές έννοιες πρέπει να μπορούν να κατασκευάζονται σε πεπερασμένα βήματα από φυσικούς αριθμούς, οπότεη ιεραρχία από άπειρα του Κάντορ του φαινόταν όχι μόνο απαράδεκτη αλλά και επικίνδυνη. Κι αυτό γιατί η έννοια του άπειρου άνοιγε την πόρτα σε παράδοξα που θα μπορούσαν να θέσουν σε αμφισβήτηση την εγκυρότητα όλων των μαθηματικών! 

Λογω της πολεμικής που δέχτηκε από τον Κρόνεκερ, ο Κάντορ δεν πήρε ποτέ την έδρα στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου που τόσο πολύ ήθελε. Αυτό θεωρείται πως ήταν και μια από τις αιτίες της κατάθλιψης που αντιμετώπιζε. Λόγω αυτής της κατάθλιψης, ο μεγάλος αυτός μαθηματικός πέρασε μεγάλα διαστήματα έχοντας χάσει τη λογική του, κλεισμένος σε ψυχιατρεία. Σε ένα τέτοιο σανατόριο, πέθανε το 1918. Εμεινε στην ιστορία ως ο μαθηματικός που ανακάλυψε ότι υπάρχουν διαφορετικά άπειρα.