Δεν υπάρχει τίποτα απλούστερο από το $1,2,3, ...$ καταλαβαίνουμε ενστικτωδώς αυτούς τους αριθμούς και γι' αυτό ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Αλλά αν το σκεφτείτε πραγματικά, τι είναι αυτοί οι αριθμοί; Πώς θα τους περιγράφατε σε έναν εξωγήινο που δεν έχει... ένστικτο αριθμού; Ας δούμε ένα τρόπο ορισμού τους, που αναπτύχθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Giuseppe Peano:
• Πρώτα δηλώνετε ότι το $1$ είναι φυσικός αριθμός
• Τότε λέτε ότι κάθε φυσικός αριθμός $n$ έχει έναν διάδοχο $s(n)$, τον οποίο μπορείτε επίσης να γράψετε ως $n+1$.
• Επιμένουμε επίσης ότι αυτός ο διάδοχος δεν είναι ποτέ ίσος με $1$
• Και ότι διαφορετικοί αριθμοί έχουν διαφορετικούς διαδόχους.
Αυτοί οι τέσσερις κανόνες σας δίνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τακτοποιημένους σε μια γραμμή, ξεκινώντας από το 1 (θα μπορούσατε επίσης να ξεκινήσετε από το 0). Σας δίνουν επίσης αριθμητική, αφού η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός έχουν να κάνουν με την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση 1 και ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό: απλά προχωράτε στον διάδοχο του αριθμού που βλέπετε. Η αφαίρεση και η διαίρεση είναι ακριβώς το αντίστροφο της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Έτσι, εξοπλισμένος με αυτούς τους κανόνες, ο αγράμματος εξωγήινος θα μπορούσε να κάνει μια αρκετά αξιοπρεπή θεωρία αριθμών!
Οι τέσσερις κανόνες αποτελούν τη βάση αυτού που ονομάζεται αριθμητική Peano. Πρόκειται για ένα τυπικό μαθηματικό σύστημα που βασίζεται σε ένα σύνολο αξιωμάτων (το οποίο περιλαμβάνει αυτούς τους τέσσερις κανόνες) μαζί με μια γλώσσα στην οποία μιλάμε για αριθμούς και κανόνες για λογική εξαγωγή συμπερασμάτων.
Στις αρχές του 20ού αιώνα οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι θα μπορούσαν να μετατρέψουν όλα τα μαθηματικά σε ένα γιγαντιαίο τυπικό σύστημα παρόμοιο με την αριθμητική του Peano. Με αυτόν τον τρόπο θα μπορούσαν να αποδείξουν τα πάντα απευθείας από τα αξιώματα, χωρίς κρυφές υποθέσεις, και να βεβαιωθούν ότι τα μαθηματικά δεν περιέχουν αντιφάσεις. Όμως το όνειρό τους γκρεμίστηκε τη δεκαετία του 1930 από τον λογικό Kurt Gödel, ο οποίος έδειξε ότι υπάρχουν "λογικά όρια" στο τι μπορεί να κάνει κανείς χρησιμοποιώντας τυπικά συστήματα.