Οι περισσότεροι άνθρωποι θα συμφωνήσουν ότι μια γάτα μπορεί να είναι όμορφη, στοργική ή ταλαντούχα, ή να έχει ένα συνδυασμό αυτών των τριών χαρακτηριστικών. Στο Pet City της γειτονιάς μας, κάθε γάτα για υιοθεσία έχει κατηγοριοποιηθεί ως εξής:
- 18 είναι όμορφες
- 22 είναι στοργικές
- 17 είναι ταλαντούχες
Ταυτόχρονα όμως
- 7 είναι και όμορφες και στοργικές,
- 3 είναι και όμορφες και ταλαντούχες,
- 11 είναι και στοργικές και ταλαντούχες
Επίσης, υπάρχει 1 «τέλεια» γάτα που είναι και όμορφη και στοργική και ταλαντούχα, ταυτόχρονα!
Η ερώτηση που προκύπτει είναι: Πόσες γάτες υπάρχουν συνολικά στο Pet City;
Μια πρόχειρη σκέψη θα ήταν να προσθέσουμε απλά τους παραπάνω αριθμούς, δηλαδή να πάρουμε το άθροισμα:
18 + 22 + 17 + 7 + 3 + 11 + 1 = 79
αλλά αυτό θα ήταν λάθος γιατί, όπως θα δούμε παρακάτω, δεν υπάρχουν οι γάτες δεν είναι 79. Είναι πολύ λιγότερες.
Σε αυτό το σημείο, πριν προχωρήσετε παρακάτω με την εξήγηση και τη λύση της σπαζοκεφαλιάς, καλό είναι να προσπαθήσετε μόνοι σας να υπολογίσετε την σωστή απάντηση. Μετά διαβάστε παρακάτω για να δείτε αν βρήκατε τη σωστή απάντηση...
Η απάντηση στη σπαζοκεφαλιά
Ας εξετάσουμε το γιατί κοιτώντας το παρακάτω διάγραμμα Venn. Στην πραγματικότητα, το πρόβλημα είναι να βρούμε τις τιμές των τριών έγχρωμων περιοχών του σχήματος, τις οποίες δεν γνωρίζουμε:
Έχουμε λοιπόν 18 όμορφες γάτες, στις οποίες όμως συμπεριλαμβάνονται οι 7 γάτες που είναι όμορφες και στοργικές, οι 3 που είναι και όμορφες και ταλαντούχες, αλλά και αυτή η 1 ειδική γάτα που είναι όμορφη, στοργική και ταλαντούχα. Δείτε γιατί στο παρακάτω σχήμα:
Συμπεριλαμβάνοντας όλες αυτές τις γάτες στο άθροισμα, κάποιες γάτες υπολογίζονται διπλά ή τριπλά, και γι' αυτό ο αρχικός υπολογισμός είναι ανακριβής. Να τι πρέπει να κάνουμε για να υπολογίσουμε τον πραγματικό αριθμό των γατών.
Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάμε με το άθροισμα
18 + 22 + 17 = 57
Τώρα, ας σκεφτούμε το εξής. Ο αριθμός των όμορφων γατών (18) περιλαμβάνει τις γάτες που είναι όμορφες και στοργικές. Αλλά και ο αριθμός των στοργικών γατών (22) περιλαμβάνει τις γάτες που είναι όμορφες και στοργικές. Έτσι, προσθέτοντας 18 + 22 έχουμε μετρήσει δύο φορές αυτές τις όμορφες και στοργικές γάτουλες, που φαίνονται με πορτοκαλί στο παρακάτω σχήμα:
Άρα, πρέπει να αφαιρέσουμε μια φορά τον αριθμό των όμορφων και στοργικών γατών, έτσι ώστε στο τελικό αποτέλεσμα να «μετράνε» μόνο μία φορά.
Με την ίδια λογική, πρέπει να αφαιρέσουμε τον αριθμό των όμορφων και ταλαντούχων γατών, καθώς και τον αριθμό των στοργικών και ταλαντούχων γατών. Οπότε καταλήγουμε με το εξής:
18 + 22 + 17−7−3−11 = 36.
Δεν τελειώσαμε όμως! Γιατί υπάρχει και εκείνη η μία «σούπερ» γάτα που είναι και όμορφη και στοργική και ταλαντούχα. Ο αριθμός των όμορφων γατών, ο αριθμός των στοργικών γατών και ο αριθμός των ταλαντούχων γατών περιλαμβάνουν αυτήν την τέλεια γάτα. Επίσης, ο αριθμός των όμορφων και στοργικών γατών, ο αριθμός των όμορφων και ταλαντούχων γατών, καθώς και ο αριθμός των στοργικών και ταλαντούχων γατών περιλαμβάνουν πάλι αυτήν την τέλεια γάτα. Δηλαδή, συμπεριλάβαμε αυτήν τη γάτα στο παραπάνω άθροισμα τρεις φορές και μετά την αφαιρέσαμε από το άθροισμα τρεις φορές. Άρα δεν την έχουμε μετρήσει καθόλου! Οπότε, πρέπει να συμπεριλάβουμε αυτήν την ειδική γάτα ακριβώς μία φορά, ούτως ώστε ο συνολικός αριθμός των γατών να είναι:
18 + 22 + 17−7−3−11 + 1 = 37.
Αυτή είναι η απάντηση λοιπόν. Οι γάτες σε αυτό το Pet City είναι 37.
Μια λίγο πιο δύσκολη σπαζοκεφαλιά
Όμως μπορούμε να προχωρήσουμε την σπαζοκεφαλιά παραπέρα, δυσκολεύοντας την λιγάκι. Το ερώτημα τώρα είναι το εξής:
Πόσες γάτες έχουν μόνο ένα χαρακτηριστικό; Είναι δηλαδή μόνο όμορφες, μόνο στοργικές, ή μόνο ταλαντούχες;
Δοκιμάστε το και, αν θέλετε, στείλτε μας την απάντησή σας.