Ακονίστε το μυαλό σας και τις γνώσεις για το άπειρο με αυτήν την απλή γεωμετρική σπαζοκεφαλιά.
Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό.
Ποιο κλάσμα του παρακάτω τετραγώνου είναι βαμμένο κόκκινο; Δηλαδή ξεκινάμε με ένα μεγάλο μπλε τετράγωνο και τοποθετούμε έναν άπειρο αριθμό κόκκινων τετραγώνων, το καθένα μικρότερο από το τελευταίο. Μπορείτε να μετρήσετε όλη την κόκκινη περιοχή;
Ας το δούμε πιο αναλυτικά. Ξεκινάμε με ένα μπλε τετράγωνο, το χωρίζουμε σε τέταρτα και χρωματίζουμε το επάνω αριστερό τετράγωνο κόκκινο. Στη συνέχεια, πηγαίνουμε στο κάτω δεξί τετράγωνο και το χωρίζουμε σε τέταρτα. Μετά χρωματίζουμε το επάνω αριστερό μέρος αυτού του τετραγώνου κόκκινο. Επαναλαμβάνουμε αυτήν τη διαδικασία ξανά και ξανά.
Με έναν άπειρο αριθμό περιοχών, πώς μπορείτε να τις μετρήσετε όλες;
Ξεκινάμε από εδώ:
Ποιο μέρος του μεγάλου τετραγώνου έχει χρωματιστεί κόκκινο;
1/5
1/4
1/3
2/5
Απάντηση: 1/3
Εξήγηση:
Το σχήμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια σειρά προοδευτικά μικρότερων αναποδογυρισμένων "L" σχημάτων, το καθένα με διαστάσεις μισές από τις προηγούμενες (οι τρεις πρώτες σημειώνονται παραπάνω).
Κάθε μεμονωμένο σχήμα έχει ένα κόκκινο τετράγωνο και δύο μπλε τετράγωνα, για συνολικά τρία τετράγωνα. Έτσι, το κόκκινο αποτελεί το 1/3 κάθε σχήματος "L" και αφού όλα τα σχήματα "L" είναι παρόμοια, όλα έχουν το ίδιο κλάσμα του κόκκινου. Άρα ολόκληρη η εικόνα είναι 1/3 κόκκινη.
Μια άλλη προσέγγιση: παίρνουμε κάθε κόκκινο τετράγωνο και δημιουργούμε δύο αντίγραφα, ένα στα δεξιά του τετραγώνου που αντιγράφεται και ένα παρακάτω. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει αυτό με μοβ.
Αυτή η μέθοδος κάλυψης του μεγάλου συνολικού τετραγώνου οδηγεί σε δύο μοβ τετράγωνα για κάθε ένα κόκκινο τετράγωνο.
Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να δοκιμάσουμε κάτι πιο δύσκολο:
Ποιο κλάσμα αυτού του τριγώνου είναι σκιασμένο κίτρινο;
Πως γίνεται:
Κάθε διαδοχικά μικρότερο τρίγωνο σε αυτό το μοτίβο συνδέει τα μεσαία σημεία των τριών πλευρών του τριγώνου στο οποίο βρίσκεται.
Σωστή απάντηση: 4/5
Γιατί;
Το σχέδιο μπορεί να θεωρηθεί μια ατελείωτη σειρά αντιγράφων του παραπάνω σχήματος. O λευκός χώρος στη μέση γεμίζει από το επόμενο αντίγραφο του ίδιου μοτίβου και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα.
Ο διαχωρισμός του διαγράμματος σε τρίγωνα του ίδιου μεγέθους δείχνει 12 μικρά κίτρινα τρίγωνα, 3 μικρά μπλε τρίγωνα και 12 + 3 = 15 μικρά τρίγωνα συνολικά. Έτσι, το κλάσμα που είναι κίτρινο είναι 12/15, το οποίο μειώνεται σε 4/5!