Ο καιρός είναι αποτέλεσμα της κίνησης της ατμόσφαιρας και των ωκεανών της Γης, του τρόπου με τον οποίο μετακινείται η υγρασία στην ατμόσφαιρα, σε συνδυασμό με τις αλλαγές στην πίεση και τη θερμοκρασία του αέρα. Η ατμόσφαιρα και οι ωκεανοί είναι ρευστά - υγρά ή αέρια.
Ευτυχώς για τους μετεωρολόγους, υπάρχει ένα σύνολο εξισώσεων που περιγράφει τη συμπεριφορά των ρευστών, οι οποίες ονομάζονται εξισώσεις Navier-Stokes.
Η γενική ιδέα πίσω από μια πρόγνωση καιρού είναι σχετικά απλή. Ξεκινάτε με μετρήσεις παραγόντων που περιγράφουν τον τρέχοντα καιρό, όπως η θερμοκρασία, η πίεση και η πυκνότητα του αέρα, η ταχύτητα του ανέμου και η περιεκτικότητα του αέρα σε υγρασία. Στη συνέχεια, τροφοδοτείτε αυτές τις αρχικές τιμές σε ένα μαθηματικό μοντέλο που βασίζεται στις εξισώσεις Navier-Stokes και το οποίο σας επιτρέπει να εξελίσσετε τον καιρό στο χρόνο σε έναν υπολογιστή.
Στην πράξη, όμως, υπάρχουν πολλά πράγματα που καθιστούν την πρόγνωση του καιρού δύσκολη. Πρώτον, δεν μπορείτε να μετρήσετε τη θερμοκρασία, την πίεση, την υγρασία κ. ο. κ. σε κάθε σημείο της Γης ή της περιοχής που σας ενδιαφέρει.
Δεύτερον, δεν μπορείτε να τα μετρήσετε με άπειρη ακρίβεια. Και το περίφημο φαινόμενο της πεταλούδας - η ιδέα ότι η μικρή διαταραχή του αέρα που προκαλείται από το χτύπημα του φτερού μιας πεταλούδας μπορεί να εξελιχθεί σε ανεμοστρόβιλο στην άλλη άκρη του κόσμου - σημαίνει ότι οι αναπόφευκτες ανακρίβειες μπορούν να πάρουν διαστάσεις χιονοστιβάδας καθώς ο υπολογιστής κάνει τους υπολογισμούς, δημιουργώντας ενδεχομένως μια πρόβλεψη που απέχει πολύ.
Ένα τρίτο πρόβλημα είναι ότι οι εξισώσεις που εμπλέκονται σε ένα μοντέλο καιρού είναι απίστευτα δύσκολο να επιλυθούν. Οι εξισώσεις Navier-Stokes αποτελούν στην πραγματικότητα το αντικείμενο ενός από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών. Κανείς δεν γνωρίζει αν υπάρχουν φυσικές λύσεις για την πιο γενική μορφή αυτών των εξισώσεων...
Αντί να επιλύουν ακριβώς τις εξισώσεις, οι μετεωρολόγοι χρησιμοποιούν υπολογιστές για να «προσεγγίσουν» τις λύσεις, σε μια προσέγγιση που ονομάζεται Αριθμητική Πρόγνωση Καιρού - Numerical Weather Prediction (NWP). Δηλαδή, χωρίζουν τη Γη και την ατμόσφαιρά της σε ένα πλέγμα, όπως η τηλεόραση ή η οθόνη ενός υπολογιστή χωρίζει μια εικόνα σε εικονοστοιχεία. Και όπως σε κάθε εικονοστοιχείο μιας οθόνης αποδίδεται ένα μόνο χρώμα, έτσι και σε κάθε πλαίσιο πλέγματος αποδίδεται μια μόνο τιμή για κάθε πίεση, υγρασία, θερμοκρασία κ. ο.κ. - μια τιμή που προέρχεται από έναν διαχειρίσιμο αριθμό μετρήσεων που λαμβάνονται σε ένα μεμονωμένο πλαίσιο πλέγματος. Για να γίνουν οι υπολογισμοί πιο εύχρηστοι, απλοποιημένες εκδοχές των σχετικών εξισώσεων μπορούν στη συνέχεια να τρέξουν σε αυτό το πλέγμα, δημιουργώντας την πρόβλεψη για το επόμενο χρονικό βήμα (π. χ. σε μια ώρα) για κάθε πλαίσιο του πλέγματος. Το φαινόμενο της πεταλούδας μπορεί στη συνέχεια να μετριαστεί με τη χρήση τεχνικών όπως η πρόβλεψη συνόλων.
Στα σημερινά σύγχρονα μοντέλα καιρού τα σημεία του πλέγματος απέχουν μεταξύ τους περίπου 1,5 χιλιόμετρο στην οριζόντια διεύθυνση και 300 μέτρα στην κατακόρυφη διεύθυνση: ακόμη και οι γρήγοροι υπερυπολογιστές δεν μπορούν να διαχειριστούν μεγαλύτερη ανάλυση. Οι διεργασίες και τα χαρακτηριστικά που συμβαίνουν μέσα σε πλαίσια πλέγματος, όπως τα σύννεφα, δεν προβλέπονται άμεσα (ή δεν λαμβάνονται ως δεδομένα) από τα μοντέλα καιρού. Αντίθετα, υπολογίζονται με τη χρήση μαθηματικών τύπων που περιγράφουν κατά προσέγγιση τη σχετική φυσική. Τέτοιες εκτιμήσεις ονομάζονται παραμετροποιήσεις.
Τα πιο σύνθετα μοντέλα καιρού ονομάζονται μοντέλα του συστήματος της Γης, τα οποία όχι μόνο συνδέουν στενά τα μοντέλα του ωκεανού και της ατμόσφαιρας μεταξύ τους, αλλά και τα συνδέουν με μαθηματικές περιγραφές άλλων στοιχείων, όπως ο θαλάσσιος πάγος, η επιφάνεια της Γης κ. ο. κ. , για να αποτυπώσουν τις αλληλεπιδράσεις σε ολόκληρο το μετεωρολογικό σύστημα της Γης.