Φανταστείτε ότι οδηγείτε στον αυτοκινητόδρομο με σταθερή ταχύτητα 70 χλμ την ώρα. Αν φτάσετε στον προορισμό σας σε 2 ώρες, τότε θα υπολογίσετε εύκολα ότι έχετε διανύσει μια απόσταση 140 χιλιομέτρων. Αυτό που κάνατε εδώ, χωρίς να το καταλάβετε, είναι να λύσετε μια διαφορική εξίσωση! Ας το εξηγήσουμε.
Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης με την πάροδο του χρόνου. Από την παρατήρηση αυτού του ρυθμού μεταβολής υπολογίσατε την τιμή της ποσότητας που μεταβάλλεται, δηλαδή της απόστασης, στο τέλος του ταξιδιού σας. Αυτό, με απλά λόγια, είναι το αντικείμενο των διαφορικών εξισώσεων. Όταν κοιτάζουμε τον κόσμο γύρω μας, συχνά αυτό που βλέπουμε και αυτό που μπορούμε να μετρήσουμε είναι η αλλαγή: πώς μεταβάλλεται κάποια ποσότητα $y$ με την πάροδο του χρόνου ή του χώρου ή σε σχέση με κάποια άλλη ποσότητα $x$.
Μπορούμε να περιγράψουμε αυτή τη μεταβολή με μια εξίσωση: αυτό ονομάζεται συνήθης διαφορική εξίσωση. Στο παράδειγμά μας για το αυτοκίνητο, το $y$ ήταν η απόσταση και το $x$ ο χρόνος,
Γράφοντας $\frac{dy}{dx}$ για το ρυθμό μεταβολής, η αντίστοιχη συνήθης διαφορική εξίσωση είναι:
$$\frac{dy}{dx} = 70$$
Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης ισοδυναμεί με την επεξεργασία, από τον ρυθμό μεταβολής του $y$ σε σχέση με το $x$, της τιμής του $y$ για κάθε τιμή του $x$. Στο παράδειγμα του αυτοκινήτου η λύση της συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι:
$$y(x) = 70 \cdot x$$
Για $x=2$, δηλαδή μετά από $2$ ώρες ταξιδιού, η απόσταση που διανύθηκε είναι
$$y(2) = 70 \cdot 2 = 140$$
όπως είπαμε προηγουμένως.
Τώρα, η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης με την πάροδο του χρόνου: είναι αυτό που ονομάζεται πρώτη παράγωγος της απόστασης σε σχέση με το χρόνο. Η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου, γεγονός που την καθιστά τη δεύτερη παράγωγο της απόστασης σε σχέση με το χρόνο. Μπορείτε να συνεχίσετε έτσι. Ο ρυθμός μεταβολής της επιτάχυνσης με την πάροδο του χρόνου θα είναι η τρίτη παράγωγος της απόστασης σε σχέση με το χρόνο, και ούτω καθεξής, δίνοντάς σας μια ολόκληρη ακολουθία παραγώγων ανώτερης τάξης. Μια συνήθης διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια ποσότητα $y$ και τις ανώτερης τάξης παραγώγους της ως προς μια ποσότητα $x$.
Αλλά δεν έχουμε τελειώσει ακόμα. Θα μπορούσατε επίσης να έχετε εξισώσεις που αφορούν τους ρυθμούς μεταβολής μιας ποσότητας $y$ σε σχέση με διάφορες άλλες ποσότητες. Για παράδειγμα, αν εξετάζετε πώς μεταβάλλεται μια ποσότητα $y$ καθώς μετακινείστε στο χώρο, μπορεί να χρειαστεί να εξετάσετε το ρυθμό μεταβολής της σε σχέση και με τις τρεις κατευθύνσεις του χώρου. Όσον αφορά τον ίλιγγο, για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής θα είναι πολύ διαφορετικός αν ανεβαίνετε προς τα πάνω από ό,τι αν κινείστε αριστερά ή δεξιά ή μπροστά ή πίσω. Όταν συμβαίνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε μερικές παραγώγους του y ως προς οποιαδήποτε από τις ποσότητες από τις οποίες εξαρτάται. Μια εξίσωση που περιλαμβάνει αυτές τις μερικές παραγώγους (όλων των τάξεων) ονομάζεται μερική διαφορική εξίσωση.
Υπάρχουν αμέτρητες χρήσεις των διαφορικών εξισώσεων σε όλους τους τομείς των μαθηματικών και των επιστημών. Για ένα ευρύ φάσμα παραδειγμάτων, δείτε αυτή τη συλλογή άρθρων της Plus. Για πιο επίσημους ορισμούς των διαφορικών εξισώσεων, ρίξτε μια ματιά στη Wikipedia.