Μόλις στα 21 του χρόνια, ο Ashwin Sah πέτυχε κάτι τόσο σημαντικό, που οι ανώτεροι μαθηματικοί λένε ότι είναι σχεδόν άνευ προηγουμένου για έναν φοιτητή.

Συγκεκριμένα, στις 19 Μαΐου δημοσίευσε το καλύτερο αποτέλεσμα σε μια από τις πιο σημαντικές ερωτήσεις της Συνδυαστικής, ένα κλάδο των μαθηματικών που ασχολείται με συνδυασμούς αντικειμένων που ανήκουν σε ένα πεπερασμένο σύνολο σύμφωνα με ορισμένους περιορισμούς, όπως αυτοί της θεωρίας γράφων.

Σύμφωνα με το Quanta magazine, η απόδειξη εντάχθηκε σε μια μακρά λίστα μαθηματικών αποτελεσμάτων που ο Sah δημοσίευσε ενώ ήταν ακόμα προπτυχιακός φοιτητής στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (δημοσίευσε αυτή τη νέα απόδειξη αμέσως μετά την αποφοίτησή του).

"Έχει κάνει αρκετή δουλειά ως προπτυχιακός για να πάρει μια θέση καθηγητή", δήλωσε ο David Conlon από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια.

Η απόδειξη αυτή, επικεντρώθηκε στους «Αριθμούς Ramsey», οι οποίοι ποσοτικοποιούν το πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα γράφο (graph, μια συλλογή κουκκίδων ή κορυφών που συνδέονται με ακμές -- στα ελληνικά λέγεται και γράφημα) προτού απαραιτήτως περιέχει ένα συγκεκριμένο είδος δομής.

Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι έχετε ένα γράφο με έξι κορυφές, κάθε μία συνδεδεμένη σε κάθε άλλη κορυφή με ακμές. Τώρα χρωματίστε κάθε μια από τις 15 συνολικά ακμές, είτε κόκκινο είτε μπλε. Ανεξάρτητα από το πώς εφαρμόζετε τα χρώματα, είναι αναπόφευκτο να καταλήξετε με τρεις κορυφές που είναι όλες συνδεδεμένες μεταξύ τους με ακμές του ίδιου χρώματος (γνωστές ως "κλίκες"). Ωστόσο, το ίδιο δεν ισχύει εάν ξεκινήσετε με πέντε κορυφές (για τις οποίες είναι δυνατό να κάνετε το χρωματισμό χωρίς να δημιουργήσετε κλίκα). Στη γλώσσα των μαθηματικών λέμε τότε ότι ο αριθμός Ramsey για δύο χρώματα και μια κλίκα μεγέθους 3 είναι 6, που σημαίνει ότι χρειάζεστε τουλάχιστον έξι κορυφές για να εγγυηθείτε ότι υπάρχει μία κλίκα.

Καθώς το μέγεθος της κλίκας που ψάχνετε μεγαλώνει, γίνεται πολύ δύσκολο να υπολογίσουμε ακριβείς αριθμούς Ramsey. Αντ’ αυτού, οι μαθηματικοί προσπαθούν να τους προσεγγίσουν, δηλαδή να αποδείξουν ότι ο αριθμός Ramsey για μια κλίκα κάποιου αυθαίρετου μεγέθους είναι μεγαλύτερος από κάποιον αριθμό (το «κάτω όριο») και λιγότερο από έναν άλλο (το «άνω όριο»).

Ο Paul Erdős και ο George Szekeres ξεκίνησαν τη μελέτη των ανώτερων και κατώτερων ορίων για τους αριθμούς Ramsey το 1930. Έκτοτε, οι μαθηματικοί έχουν σημειώσει σχετικά μικρή πρόοδο.

Η απόδειξη του Sah, βελτίωσε το ανώτερο όριο για τους αριθμούς Ramsey δύο χρωμάτων. Το πέτυχε βελτιστοποιώντας μια μέθοδο που προήλθε από τους Erdős και Szekeres. Το αποτέλεσμα του Sah, αποδεικνύει ότι μόλις ένας γράφος φτάσει σε ένα συγκεκριμένο μέγεθος, περιέχει αναπόφευκτα μια κλίκα κάποιου αντίστοιχου μεγέθους. Κάποιοι που ασχολούνται με την έρευνα στον τομέα αυτό, βλέπουν την απόδειξη του Sah ως το καλύτερο αποτέλεσμα που μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τις υπάρχουσες μεθόδους.

"Πιέζει τη μέθοδο στο λογικό της όριο", είπε ο Conlon, ο οποίος είχε υπολογίσει το προηγούμενο καλύτερο ανώτερο όριο στο πρόβλημα.

H «μαθηματική» ζωή του Ashwin Sah

O Ashwin Sah, μεγάλωσε στο Πόρτλαντ του Όρεγκον και είχε έφεση στα μαθηματικά από νεαρή ηλικία. «Μερικές από τις πρώτες μου αναμνήσεις είναι η μαμά μου που μου δίδασκε βασική αριθμητική», είπε.

Πήρε την πρώτη του γεύση για προχωρημένα μαθηματικά σε διαγωνισμούς, όπου διακρίθηκε.

Το καλοκαίρι του 2016, όταν ήταν 16 ετών, κέρδισε χρυσό μετάλλιο στη Διεθνή Ολυμπιάδα Μαθηματικών στο Χονγκ Κονγκ. Το επόμενο έτος εγγράφηκε στο MIT. Αποφοίτησε δυόμισι χρόνια αργότερα.

Εκεί, ο Sah έκανε δύο «γνωριμίες» που ήταν κρίσιμες για τη μαθηματική του ανάπτυξη. Η πρώτη, ήταν με έναν καθηγητή που ονομάζεται Yufei Zhao. Ο Sah παρακολούθησε δύο μαθήματα του κατά τη διάρκεια του πρώτου έτους στο MIT, συμπεριλαμβανομένου ενός σεμιναρίου μεταπτυχιακού επιπέδου για τη Συνδυαστική. Ακόμη και μεταξύ μερικών από τους πιο ταλαντούχους μαθητές μαθηματικών στον κόσμο, ξεχώρισε.

"Είχε μάθει σαφώς το υλικό παρόλο που ήταν μόλις ένα έτος στο κολέγιο", δήλωσε ο Zhao.

Η δεύτερη γνωριμία ήταν με τον Mehtaab Sawhney. Ο Sawhney ένα χρόνο μεγαλύτερος από τον Sah και είχε μεταφερθεί στο MIT από το Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια. Συναντήθηκαν στην τάξη τον Σεπτέμβριο και έγιναν φίλοι. Μέχρι την άνοιξη έκαναν έρευνα μαζί. Δούλεψαν σε μια σειρά θεμάτων σε Διακριτά Μαθηματικά όπως η θεωρία γράφων, οι πιθανότητες και οι ιδιότητες των τυχαίων πινάκων. Πολλά από τα προβλήματα που αντιμετώπισαν ήταν σχετικά απλά και μπορούσαν να προσεγγιστούν άμεσα, χωρίς να χρειάζονται τα χρόνια επίσημης εκπαίδευσης τους.

"Μου αρέσουν τα είδη προβλημάτων που μπορείς να σκεφτείς από τις πρώτες αρχές και δεν χρειάζεται να έχεις διαβάσει τεράστια βιβλιογραφία ή να γνωρίζεις κάποιες θεωρίες για να αρχίσεις να το σκέφτεσαι", δήλωσε ο Sawhney.

Οι δυο φοιτητές, συνεργάστηκαν στενά με τον Zhao, ο οποίος πρότεινε ερευνητικά θέματα και τους καθοδήγησε για το πώς να γράψουν επίσημες μαθηματικές εργασίες.

Τα τελευταία τρία χρόνια ο Sah και ο Sawhney έχουν γράψει δεκάδες άρθρα, πολλά από αυτά μαζί. Αυτό το φθινόπωρο ανακοινώθηκαν ως νικητές του βραβείου Morgan του 2021, που μοιράζονταν κάθε χρόνο από κορυφαίους οργανισμούς μαθηματικών για να αναγνωρίσουν την καλύτερη έρευνα από προπτυχιακούς μαθηματικούς. Ο Zhao παρατήρησε ότι δεν υπάρχει πρόσφατο προηγούμενο για αυτό που έχουν επιτύχει.

"Υπάρχει μια μακρά παράδοση της προπτυχιακής έρευνας, αλλά τίποτα αρκετά στο επίπεδο του Ashwin και του Mehtaab σε ποσότητα και ποιότητα", είπε.

O Sah και o Sawhney είναι τώρα μεταπτυχιακοί φοιτητές του MIT, παρόλο που λόγω της πανδημίας βρίσκονται επί του παρόντος σε αντίθετες ακτές. Ο Sah επέστρεψε στο Πόρτλαντ και ο Sawhney βρίσκεται στο Λονγκ Άιλαντ της Νέας Υόρκης, όπου μεγάλωσε. Eξακολουθούν όμως, να βρίσκονται σε σχεδόν αδιάκοπη επαφή.

"Συναντιόμαστε μία ή δύο φορές την ημέρα για πέντε ή έξι ώρες", είπε ο Sawhney. "Ακόμα και όταν δεν συναντιόμαστε, στέλνουμε συνεχώς μηνύματα."

Οι δυο τους, λένε πως δεν αισθάνονται επιβαρυμένοι από την πρώιμη επιτυχία τους. Αν μη τι άλλο, τους παρακινεί να γίνουν καλύτεροι.