Ο Αργεντινός μαθηματικός Λουίς Καφαρέλι κέρδισε το βραβείο Abel 2023 για την εργασία του σε εξισώσεις που είναι σημαντικές για την περιγραφή φυσικών φαινομένων. Το βραβείο Abel είναι ένα διεθνές βραβείο που απονέμεται κάθε χρόνο από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων σε έναν ή περισσότερους εξαίρετους μαθηματικούς. Φέρει το όνομα του Νορβηγού μαθηματικού Νιλς Χένρικ Άμπελ. Συχνά περιγράφεται σαν "το Νόμπελ των μαθηματικών" και αποτελεί μία από τις υψηλότερες διακρίσεις στον χώρο των μαθηματικών. Συνοδεύεται από χρηματικό έπαθλο ύψους 7,5 εκατ. Νορβηγικών κορόνων (γύρω στα 740.000 ευρώ). Ο Καφαρέλι είναι ο 26ος μαθηματικός που λαμβάνει το βραβείο από την ίδρυσή του το 2002.

Η γεύση της αλλαγής

Για να καταλάβουμε τη δουλειά του Καφαρέλι, ας πάρουμε ένα παράδειγμα που προέρχεται από τη συμπεριφορά των ρευστών. Τα ρευστά σπάνια κάθονται εντελώς ακίνητα και είναι ικανά για ένα μεγάλο εύρος συμπεριφορών: από το αίμα που κινείται ομαλά μέσα στις φλέβες μας μέχρι το νερό που ρέει ορμητικά σε ένα ορεινό ρέμα. Άνθρωποι από διαφορετικούς κλάδους (μηχανικοί, μετεωρολόγοι, βιολόγοι, φυσικοί) ασχολούνται καθημερινά με τη δυνητικά πολύπλοκη συμπεριφορά των ρευστών.

Στο μυαλό του Καφαρέλι, η θεωρία της ρευστοδυναμικής περιγράφεται καλύτερα με μαγειρικούς όρους. "Πάρτε ένα μπουκάλι ελαιόλαδο χωρίς αέρα μέσα, αλλά με λίγη ρίγανη και κόκκινο πιπέρι", είπε σε μια ομιλία του στο Clay Mathematics Institute το 2001. "Κουνάτε το μπουκάλι πολύ καλά και στη συνέχεια το τοποθετείτε στο τραπέζι. Το υγρό κινείται. Αυτό που θέλετε να κάνετε είναι να προβλέψετε πώς αυτό το ρευστό, θα μεταβεί σε ηρεμία". Δύο πράγματα είναι πολύ σημαντικά όταν πρόκειται για την κίνηση ενός ρευστού. Ένα από αυτά είναι το ιξώδες του, που πολύ χοντρικά περιγράφει το πόσο "κολλώδες" είναι. Π.χ. το λευκό κρασί σε ένα ποτήρι στροβιλίζεται ευκολότερα από το πιο "κολλώδες" ελαιόλαδο στο μπουκάλι, το οποίο με τη σειρά του ρέει καλύτερα από την κέτσαπ που πιέζετε πάνω στη μπριζόλα σας. Μια άλλη σημαντική παράμετρος είναι η πίεση: αν θέλετε να βγει η κέτσαπ πιο γρήγορα, πιέζετε το μπουκάλι πιο δυνατά. Εφόσον το ρευστό είναι ασυμπίεστο (δεν μπορεί να μειώσει τον όγκο του όταν το συμπιέζετε), η πίεση προκαλεί την επιτάχυνσή του.

Οι άνθρωποι γνωρίζουν εδώ και πολύ καιρό ότι η πίεση και το ιξώδες είναι καθοριστικά για την περιγραφή της ροής των ρευστών. Αλλά μόλις τον 19ο αιώνα η σχέση αυτή διατυπώθηκε με μαθηματικούς όρους για ασυμπίεστα και ιξώδη ρευστά. Οι εξισώσεις Navier-Stokes, οι οποίες πήραν το όνομά τους από τους Claude-Louis Navier και Gabriel Stokes, δίνουν μια ακριβή σχέση μεταξύ του ιξώδους ενός ρευστού, της πίεσης και της επιτάχυνσης που υφίσταται το ρευστό. Αν γνωρίζετε τις αρχικές συνθήκες της ροής (το ελαιόλαδο που στροβιλίζεται καθώς το αφήνετε στο τραπέζι), τότε η λύση των εξισώσεων θα σας πει θεωρητικά πώς θα συμπεριφέρεται η ροή του ρευστού για πάντα.

Οι εξισώσεις Navier-Stokes ανήκουν σε ένα κλάδο μαθηματικών που λέγεται Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (Partial Differential Equations). Γενικά, οι εξισώσεις αυτές συσχετίζουν τα φυσικά μεγέθη (όπως η ταχύτητα και η πίεση) με τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλονται (όπως η επιτάχυνση, η οποία είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου). Αυτές οι εξισώσεις περιλαμβάνουν τα μαθηματικά του λογισμού, που μπορούν να μιλούν για απειροελάχιστες ποσότητες και μεταβολές. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να μεγεθύνετε το χρόνο και το χώρο σε οποιοδήποτε επιθυμητό επίπεδο ακρίβειας.

Θεωρία και πράξη

Όταν έχετε ένα σύνολο εξισώσεων που θεωρείτε ότι παρέχει ένα μαθηματικό μοντέλο για μια φυσική διαδικασία, υπάρχουν δύο τύποι ερωτήσεων που μπορείτε να θέσετε. Ένα από αυτά είναι αν μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για να βρείτε το δρόμο σας προς τη λύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος που θα θέλατε να λύσετε, είτε πρόκειται για την κατασκευή ενός αυτοκινήτου, είτε για την πρόβλεψη του καιρού, είτε για τη δημιουργία μιας ρεαλιστικής κινούμενης εικόνας του αίματος που εκτοξεύεται από μια πληγή για μια ταινία. Σε αυτού του είδους την ερώτηση, για τις εξισώσεις Navier-Stokes, η απάντηση είναι συχνά "ναι". Αν και ακριβείς λύσεις είναι συνήθως αδύνατον να βρεθούν, εξελιγμένες μέθοδοι και μεγάλη υπολογιστική ισχύς μπορούν να δώσουν προσεγγιστικές λύσεις που είναι αρκετά ακριβείς για πολλές πρακτικές εφαρμογές.

Το άλλο ερώτημα που μπορείτε να θέσετε είναι πιο γενικής και θεωρητικής φύσης: σας δίνουν οι εξισώσεις μια συνεκτική θεωρία της ροής των ρευστών; Εδώ δεν σας ενδιαφέρει τόσο το πόσο ακριβώς οι εξισώσεις περιγράφουν την πραγματικότητα. Ακόμη και θεωρίες που είναι μόνο κατά προσέγγιση σωστές μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμες. Αντίθετα, θέλετε να ξέρετε αν υπάρχουν πάντα λύσεις στις εξισώσεις και αν αυτές οι λύσεις είναι λογικά "ωραίες". Ένα παράδειγμα μιας μη-ευχάριστης λύσης θα ήταν μια λύση που προβλέπει ότι η ταχύτητα ή η επιτάχυνση του ρευστού θα πρέπει να γίνει άπειρη σε κάποιο σημείο - αν και η κέτσαπ μερικές φορές εκτοξεύεται από ένα μπουκάλι εκπληκτικά γρήγορα, οι ταχύτητες στην πραγματική ζωή είναι πάντα πεπερασμένες, οπότε μια πρόβλεψη για άπειρη ταχύτητα δεν έχει φυσικό νόημα. "Αυτό είναι θέμα εσωτερικής συνοχής", εξηγεί ο Καφαρέλι στην ομιλία του. "Δεν έχει καμία σχέση με το αν το μοντέλο αντικατοπτρίζει την πραγματικότητα. Έχει να κάνει με τη συνοχή του μοντέλου: αν μου δώσεις [αρχικά] δεδομένα, οι εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μια ωραία λύση, κοντά στην πραγματικότητα ή όχι". Τα σημεία στο χώρο και στο χρόνο όπου μια λύση δεν είναι ωραία ονομάζονται ιδιομορφίες.

Οι ερωτήσεις σχετικά με την ύπαρξη και την κομψότητα των λύσεων είναι εξαιρετικά δύσκολο να απαντηθούν. Όταν πρόκειται για υγρά, αυτό οφείλεται στο ότι δεν έχουμε μια μαθηματική διατύπωση που να καλύπτει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο όλες τις περιπτώσεις. Από τη μία πλευρά, θα μπορούσατε να θεωρήσετε ότι ένα ρευστό αποτελείται από πολλά μικρά ρευστά σωματίδια και να προσπαθήσετε να περιγράψετε μαθηματικά τη συμπεριφορά τους. Αυτός ο τρόπος, γνωστός ως Lagrangian είναι καλός για την περιγραφή, για παράδειγμα, της επιτάχυνσης ενός ρευστού. Από την άλλη πλευρά, μπορεί να αποφασίσετε να εξετάσετε μια μικρή περιοχή του χώρου και να προσπαθήσετε να αποτυπώσετε τον τρόπο με τον οποίο κινείται το υγρό μέσα σε αυτήν. Ο τρόπος αυτός ονομάζεται Eulerian και είναι καλός για την περιγραφή, για παράδειγμα, του ιξώδους. Ωστόσο, καμία από τις δύο διατυπώσεις δεν μπορεί να περιγράψει εξίσου καλά όλες τις πτυχές της ροής του ρευστού. "Αυτή είναι η κατάρα της ρευστοδυναμικής", είπε ο Καφαρέλι στην ομιλία του. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι εξισώσεις στη ρευστοδυναμική είναι τόσο δύσκολες.

Ορόσημα στις ροές ρευστών

Ωστόσο, ένα ορόσημο στη θεωρία ήρθε τη δεκαετία του 1930, όταν ο μαθηματικός Jean Leray έδειξε ότι υπάρχουν κάποιου είδους ασθενείς λύσεις για τις εξισώσεις Navier-Stokes. Μια ασθενής λύση είναι εκείνη όπου οι εξισώσεις ικανοποιούνται κατά μέσο όρο και όχι σε κάθε σημείο. Ένα άλλο πράγμα που ανακαλύφθηκε είναι ότι αν τα αρχικά δεδομένα που τροφοδοτείτε τις εξισώσεις - η αρχική ταχύτητα του ελαιολάδου - είναι ωραία, τότε αυτή η ωραία κατάσταση παραμένει για λίγο, με τις "αδύναμες" λύσεις να μην κάνουν τίποτα τρελό βραχυπρόθεσμα.

Στο άλλο άκρο του φάσματος, οι άνθρωποι ήταν επίσης σε θέση να καταλάβουν τι συμβαίνει σε πολύ μακροπρόθεσμη βάση: αν αφήσετε τις εξισώσεις σας να εξελιχθούν για μεγάλο χρονικό διάστημα, μπορείτε να είστε σίγουροι ότι οι λύσεις γίνονται και πάλι ωραίες. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μέχρι τότε η ενέργεια στο σύστημα έχει διαλυθεί, οπότε οι λύσεις αναγκάζονται να παραμείνουν μικρές, δηλαδή δεν μπορούν να είναι άπειρες. Αυτό αφήνει ένα ερώτημα για το μεσοπρόθεσμο διάστημα: θα μπορούσαν να εμφανιστούν εκεί ιδιομορφίες αφού η επίδραση των καλών συνθηκών εκκίνησης έχει εξαφανιστεί και πριν διαλυθεί μεγάλο μέρος της ενέργειας;

Όσον αφορά αυτό το ερώτημα, ο Καφαρέλι, μαζί με τους Robert Kohn και Louis Nirenberg, παρήγαγε ένα άλλο αποτέλεσμα-ορόσημο το 1982. Βοήθησε να δείξει ότι, αν υπάρχουν ιδιομορφίες σε αυτό το μεσοπρόθεσμο διάστημα, δεν θα υπάρξουν ποτέ αρκετές από αυτές για να συγχωνευθούν μεταξύ τους και να σχηματίσουν μια συνεχή καμπύλη στον τετραδιάστατο κόσμο που έχουμε όταν θεωρούμε τον χώρο και τον χρόνο μαζί. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι οι ιδιομορφίες μπορούν να υπάρχουν μόνο για ένα σημείο του χρόνου - αν υπήρχαν για ένα ολόκληρο χρονικό διάστημα, όσο σύντομο κι αν είναι, τότε αυτό θα αποτελούσε μια συνεχή γραμμή, κάτι που ο Καφαρέλι και οι συνάδελφοί του έδειξαν ότι δεν μπορεί να υπάρξει. "Έτσι, αν υπάρχουν ιδιομορφίες, [σχηματίζουν] ένα πολύ ελάχιστο σύνολο - είναι φυσικά κατά κάποιο τρόπο άσχετες, επειδή δεν θα τις δείτε ποτέ, δεν θα έχουν καμία επίδραση", είπε ο Καφαρέλι στην ομιλία του.

Οι Καφαρέλι, Kohn και Nirenberg δημοσίευσαν το αποτέλεσμά τους στην εργασία-ορόσημο "Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations". Το γενικό ερώτημα για το αν μπορούν να υπάρξουν ιδιομορφίες στις λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes είναι ακόμη άλυτο: είναι το αντικείμενο ενός βραβείου ύψους 1 εκατομμυρίου λιρών που προσφέρει το Clay Mathematics Institute. Από όλους τους μαθηματικούς που ασχολούνται με αυτό το πρόβλημα, οι Καφαρέλι, Kohn και Nirenberg έχουν έρθει πιο κοντά στη λύση.

Πέρα από τα υγρά

Το έργο του Καφαρέλι για τις εξισώσεις Navier-Stokes είναι μόνο ένα μικρό μέρος ενός τεράστιου όγκου εργασιών για τις μερικές διαφορικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, είχε επίσης σημαντική συμβολή στο λεγόμενο πρόβλημα του εμποδίου, το οποίο θέτει το ερώτημα πώς μια ελαστική μεμβράνη, όπως μια υπέροχα λεπτή τηγανίτα, θα κατακαθίσει όταν την τοποθετήσετε πάνω από ένα εμπόδιο, όπως μερικές μπάλες παγωτού. Ένας συναφής τύπος προβλήματος που εξέτασε ο Καφαρέλι αφορά καταστάσεις όπου δύο τύποι ουσιών, όπως το μέρος του παγωτού σας που είναι ακόμη παγωμένο και το μέρος που έχει αρχίσει να λιώνει, συναντώνται σε μια διεπιφάνεια. Τόσο το πρόβλημα του εμποδίου όσο και τα λεγόμενα προβλήματα ελεύθερων ορίων (που περιλαμβάνουν μια διεπιφάνεια) μπορούν να διατυπωθούν με όρους μερικών διαφορικών εξισώσεων και έχουν εφαρμογές πολύ πέρα από το πεδίο της μαγειρικής.

"Τα θεωρήματα του Καφαρέλι έχουν αλλάξει ριζικά την κατανόηση των κατηγοριών μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων με ευρείες εφαρμογές", λέει ο πρόεδρος της επιτροπής Abel Helge Holden. Περιγράφει τα αποτελέσματα του Καφαρέλι ως τεχνικά δεξιοτεχνικά, καλύπτοντας πολλούς διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών και των εφαρμογών τους. Ο συνεργάτης του Καφαρέλι, Louis Nirenberg, ο οποίος κέρδισε το βραβείο Abel το 2015, συμφωνεί. "Φανταστική διαίσθηση, απλά αξιοσημείωτη. . . δυσκολεύτηκα να τον ακολουθήσω. Με κάποιο τρόπο βλέπει αμέσως πράγματα που οι άλλοι άνθρωποι δεν βλέπουν", είπε όταν ρωτήθηκε για τη συνεργασία του με τον Καφαρέλι.

Λίγα λόγια για τον Λουίς Καφαρέλι

Ο Καφαρέλι γεννήθηκε στο Μπουένος Άιρες το 1948, αλλά πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της επαγγελματικής του ζωής στις ΗΠΑ. Είναι παντρεμένος με την Αργεντινή μαθηματικό Irene Martínez Gamba. Τα αποσπάσματα σε αυτό το άρθρο προέρχονται από τη ομιλία του Καφαρέλι, στο Clay Mathematics Institute το 2001. Μπορείτε να την παρακολουθήσετε ολόκληρη παρακάτω:

 

Πηγή εικόνας: Wikipedia