Μια ομάδα, στα μαθηματικά, είναι ένα σύνολο στοιχείων μαζί με μια πράξη που συνδυάζει οποιαδήποτε δύο στοιχεία της για να σχηματίσει ένα τρίτο στοιχείο του συνόλου, με τέτοιο τρόπο ώστε να τηρούνται οι παρακάτω τρεις συνθήκες:
- η πράξη να είναι "προσεταιριστική",
- να υπάρχει ένα ταυτοτικό/ουδέτερο στοιχείο και
- για κάθε στοιχείο να υπάρχει ένα αντίστροφο.
Αυτές οι τρεις συνθήκες, που ονομάζονται αξιώματα, είναι γνωστές σε πολλά συστήματα. Ένα κλασικό παράδειγμα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης:
$$ \mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\} $$
Βλέπετε η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο, το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο έχει "αντίστροφο": τον αντίθετό του. Και φυσικά η πρόσθεση ακεραίων έχει την προσεταιριστική ιδιότητα: $ ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) $
Η έννοια της ομάδας προέκυψε από τη μελέτη των πολυωνυμικών εξισώσεων, ξεκινώντας από τον Évariste Galois τη δεκαετία του 1830. Ο Galois ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εισήγαγε τον όρο "ομάδα" (groupe, στα Γαλλικά) για να περιγράψει την ομάδα συμμετριών των ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, κάτι που σήμερα αποκαλείται Ομάδα Galois. Οι ομάδες συμμετρίας εφαρμόζονται ευρέως σήμερα στη μοριακή χημεία και σε διάφορους φυσικούς κλάδους.
Μετά από συνεισφορές από άλλα πεδία όπως η θεωρία αριθμών και η γεωμετρία, η έννοια της ομάδας γενικεύτηκε και καθιερώθηκε σταθερά γύρω στο 1870. Σήμερα, η θεωρία Ομάδων είναι ένας πολύ ενεργός μαθηματικός κλάδος. Μάλιστα, η παρουσία των ομάδων σε πολλούς τομείς - τόσο εντός όσο και εκτός των μαθηματικών - τις καθιστά κεντρικό οργανωτικό εργαλείο στα σύγχρονα μαθηματικά. Εξάλλου, η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις κάνει κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς.
Παραδείγματα ομάδων
- Το σύνολο των ακεραίων $ \mathbb{Ζ} $ με την πράξη της πρόσθεσης
- Οι κινήσεις στον πασίγνωστο κύβο του Rubik, αποτελούν μια ομάδα, την ομάδα του Κύβου του Rubik (Rubik's Cube group).
- Η ομάδα των 8 συμμετριών του τετραγώνου
Αντιπαράδειγμα
Το σύνολο των ακεραίων $ \mathbb{Ζ} $ με την πράξη του πολλαπλασιασμού ΔΕΝ είναι ομάδα. Διότι, η πράξη είναι προσεταιριστική και υπάρχει ταυτοτικό στοιχείο, αλλά δεν υπάρχει αντίστροφο για κάθε στοιχείο. Δηλαδή ισχύουν μόνο δύο από τις τρεις απαιτούμενες συνθήκες.