Σε αυτό το άρθρο ένας δάσκαλος μαθηματικών εξηγεί πως είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός.  Στο τέλος, υπάρχει η απόδειξη σε βίντεο.


Τι είναι ένας άρρητος αριθμός;

Στα μαθηματικά, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να περιγραφεί είτε ως ρητός είτε ως άρρητος. Ο ρητός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών. Για παράδειγμα, το 2.5 μπορεί να γραφτεί ως 5/2, ενώ το 0.333333 ... μπορεί να γραφτεί ως 1/3, επομένως και οι δύο αυτοί αριθμοί είναι ρητοί.

Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός, άρα δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα ολόκληρων αριθμών, είναι άρρητος. Διάσημα παραδείγματα αυτών περιλαμβάνουν οι αριθμοί $ π $, $ e $ και $ \sqrt{2} $.

Κάτι χρήσιμο να σημειωθεί είναι ότι όταν γράφονται με δεκαδική μορφή, οι ρητοί αριθμοί είτε τερματίζονται είτε επαναλαμβάνονται, ενώ οι άρρητοι αριθμοί συνεχίζονται για πάντα χωρίς επανάληψη ή μοτίβο.

Απόδειξη με αντίφαση

Αναφέραμε ότι το $ \sqrt{2} $ είναι άρρητος αριθμός, αλλά πώς μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό;

Σε αυτό το άρθρο, θα χρησιμοποιήσουμε μια απόδειξη με αντίφαση βασισμένη στο έργο του Έλληνα μαθηματικού Ευκλείδη (μέσα του 4ου αιώνα π.Χ.).

Η απόδειξη από την αντίφαση (ή "εις άτοπον απαγωγή") λειτουργεί υποθέτοντας ότι το αντίθετο από αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε είναι αλήθεια και στη συνέχεια δουλεύοντας μέσα από τα μαθηματικά βήματα μέχρι να έρθουμε σε μια αντίφαση της αρχικής μας υπόθεσης.

Η απόδειξη ότι η ρίζα 2 είναι άρρητος αριθμός

Ας υποθέσουμε ότι το $ \sqrt{2} $ είναι ρητός και ως εκ τούτου μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με τους χαμηλότερους όρους $ \frac { p } { q } $, όπου τα p και q είναι ακέραιοι και q ≠ 0, δηλαδή:

$$  \sqrt{2} = \frac { p } { q } $$

Υψώνουμε στο τετράγωνο και στις δύο πλευρές:

$$  2 = \frac { p ^ 2 } { q ^ 2 } $$

Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με $ q ^ 2 $:

$$  2 q ^ 2 =  p ^ 2  $$

Καθώς το $ p ^ 2 $: ισούται δύο φορές με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να είναι και άρτιος. Αυτό σημαίνει επίσης ότι το $ p $ είναι άρτιος, άρα μπορεί να γραφτεί ως $ 2n $ για κάποιο ακέραιο αριθμό $ n $. Επομένως:

$$  2 q ^ 2 =  (2n) ^ 2  $$

$$  2 q ^ 2 =  4 n ^ 2  $$

$$  q ^ 2 =  2 n ^ 2  $$

Το $  q ^ 2 $  είναι επίσης δύο φορές ένας ακέραιος αριθμός, εξ ου και άρτιος. Και πάλι αυτό σημαίνει ότι το $ q $ είναι άρτιο.

Έχουμε δείξει ότι τα $ p $ και $ q $ είναι και τα δύο άρτιοι, αλλά αν αυτό ισχύει, τότε τα $ \frac{p} {q} $ δεν μπορούν να είναι στην απλούστερη μορφή τους, καθώς θα μπορούσαμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2. Επομένως, έχουμε μια αντίφαση με την αρχική μας δήλωση, Ως εκ τούτου, αυτή η αρχική δήλωση είναι λάθος και έτσι η √2 πρέπει να είναι άρρητος αριθμός.