Το ξέρατε ότι υπάρχει μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής; Οχι; Και όμως έτσι είναι. Aς δούμε στα γρήγορα το γιατί!
Τι είναι μια νότα;
Ο ήχος ως γνωστόν παράγεται από κάτι σε ένα όργανο που δονείται. Αυτό το "κάτι" μπορεί να είναι μια χορδή, ένα δοξάρι, ένα δέρμα τυμπάνου κλπ και προκαλεί δόνηση στα κοντινά σωματίδια του αέρα. Τα σωματίδια αυτά με τη σειρά τους προκαλούν δόνηση σε άλλα γειτονικά σωματίδια άερα, τα οποία αποτελούν συνολικά ένα ηχητικό κύμα. Κάποια στιγμή, το κύμα των δονούμενων σωματιδίων φτάνει στο αυτί που ακούει έναν ήχο διότι τα δονούμενα σωματίδια αέρα προκαλούν δόνηση του τυμπάνου του αυτιού μας.
Μέχρι εδώ όλα καλά. Το μουσικό όργανο όμως δονείται σε ορισμένη συχνότητα, που σημαίνει τον αριθμό των κυματικών κύκλων ανά δευτερόλεπτο, ο οποίος μετράται σε Hertz (Hz). Όσο υψηλότερη είναι η συχνότητα τόσο υψηλότερο είναι το ύψος της νότας. Για παράδειγμα, η νότα Α4 (το Α πάνω από το μεσαίο ντο) έχει συχνότητα 440 Hz, δηλαδή το όργανο δονείται 440 φορές το δευτερόλεπτο. Μια νότα, μια οκτάβας πιο πάνω έχει συχνότητα διπλάσια της αρχικής νότας.
Γιατί τα διάφορα όργανα ακούγονται διαφορετικά;
Αν παίξουμε την ίδια νότα σε δύο διαφορετικά όργανα θα ακούγεται πολύ διαφορετικά. Γιατί όμως συμβαίνει αυτό; Παίζουμε την ίδια νότα, κάνοντας ηχητικά κύματα με την ίδια συχνότητα, οπότε γιατί δεν ακούγεται το ίδιο;
Ας δούμε διάφορα όργανα που παίζουν τη νότα A4. Το μυστικό είναι ότι όταν οποιοδήποτε όργανο παίζει αυτό το Α, το οποίο ονομάζουμε θεμελιώδη συχνότητα, το όργανο δονείται επίσης σε αρμονικές συχνότητες, οι οποίες είναι ακριβή πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας. Για αυτό το Α, η δεύτερη αρμονική είναι 2 x 440 = 880 Hz, η τρίτη αρμονική είναι 3 x 440 = 1320 Hz κ. ο. κ. Διαφορετικά όργανα παράγουν αυτές τις αρμονικές σε διαφορετικές εντάσεις σε σύγκριση με τη θεμελιώδη συχνότητα της συγκεκριμένης νότας, γεγονός που τους προσδίδει έναν μοναδικό ήχο. Οι συχνότητες θα είναι όλες ίδιες, αλλά κάθε όργανο τις συνδυάζει μοναδικά.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα των αρμονικών συχνοτήτων που παράγονται από τη νότα Α4 σε πιάνο και ακουστική κιθάρα, τις οποίες παρήγαγε η συγγραφέας του άρθρου σε ένα λογισμικό που ονομάζεται Audacity.
Η θεμελιώδης συχνότητα των 440Hz σημειώνεται με κάθετη γραμμή σε κάθε γράφημα. Αυτό φαίνεται παρόμοιο και στις δύο γραφικές παραστάσεις, και μετά από αυτό βλέπουμε τις αρμονικές συχνότητες στα 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz κ. ο. κ. Και οι δύο γραφικές παραστάσεις έχουν κορυφές στις ίδιες τιμές, ωστόσο το ύψος των κορυφών ποικίλλει, γεγονός που κάνει τον ήχο ενός πιάνου και μιας κιθάρας να διαφέρει.
Γιατί οι αρμονίες μας ακούγονται ωραίες;
Τώρα, αν παίζαμε δύο διαφορετικές νότες ταυτόχρονα, κάποια ζεύγη νοτών θα μας ακούγονταν "ωραία" και κάποια θα συγκρούονταν. Τι υπαγορεύει ποιοι συνδυασμοί ακούγονται καλά μαζί;
Ας δούμε πρώτα αν θα παίζαμε νότες με απόσταση μιας οκτάβας μεταξύ τους, κάτι που μας ακούγεται ωραίο. Η συχνότητα της υψηλότερης νότας θα είναι διπλάσια από τη συχνότητα της χαμηλότερης νότας και έτσι η απλοποιημένη αναλογία μεταξύ των συχνοτήτων των δύο νοτών είναι 1:2. Αυτοί είναι απλοί αριθμοί, και αυτό αντιστοιχεί στο ότι βρίσκουμε τον ήχο ευχάριστο.
Το ίδιο ισχύει και αν παίζαμε νότες σε απόσταση μιας πέμπτης μεταξύ τους (βλ. το παραπάνω σχήμα): η αναλογία των συχνοτήτων είναι 2:3, ενώ οι νότες σε απόσταση μιας τέταρτης μεταξύ τους δίνουν αναλογία 3:4. Πρόκειται επίσης για μικρούς, απλούς αριθμούς. Ωστόσο, αν παίζαμε νότες που απέχουν μεταξύ τους ένα τρίτονο (έξι ημιτόνια), η αναλογία που προκύπτει είναι 45:32, η οποία αποτελείται από μεγαλύτερους, πιο περίπλοκους αριθμούς και έτσι οι νότες σε αυτό το διάστημα συγκρούονται.
Συντονισμός
Ιστορικά, τα όργανα κουρδίζονταν συχνά με μια μέθοδο που ονομάζεται "just tuning", η οποία δημιουργεί διαφορετικά διαστήματα χρησιμοποιώντας αναλογίες ακέραιων αριθμών. Ένα παράδειγμα αυτού είναι ο Πυθαγόρειος συντονισμός (που αποδίδεται στον Πυθαγόρα τον 6ο αιώνα π. Χ.), όπου τα διαστήματα μιας τέλειας πέμπτης (που χρησιμοποιεί την αναλογία 3:2) στοιβάζονται για να συντονίσουν κάθε νότα ώστε να είναι μια πέμπτη πάνω από την προηγούμενη νότα.
Ένα σύστημα λειτουργεί καλά για μουσική γραμμένη σε ένα συγκεκριμένο κλειδί με λίγες ύφεσεις ή παύλες. Ωστόσο προκύπτουν προβλήματα όταν μεταφέρεται μουσική σε κλειδί με μεγαλύτερο αριθμό ύφεσεων ή παύλων, επειδή τα διαστήματα που χρησιμοποιούνται είναι διαφορετικά στα διάφορα κλειδιά, με αποτέλεσμα η μουσική να ακούγεται παράφωνη. Το απλό κούρδισμα εξακολουθεί να χρησιμοποιείται με όργανα όπως η γκάιντα, καθώς παραμένει πάντα σε ένα κλειδί, και οι γκάιντες σπάνια παίζονται με άλλα όργανα, οπότε το διαφορετικό κούρδισμά τους δεν προκαλεί προβλήματα.
Τον 16ο αιώνα υπολογίστηκε ένα νέο στυλ κουρδίσματος που ονομάστηκε ισομετρία, η οποία χωρίζει την οκτάβα σε ίσα βήματα. Αυτό είναι που χρησιμοποιείται σήμερα συνήθως στην κλασική και δυτική μουσική, όπου διαιρούμε μια οκτάβα σε 12 ημιτόνια ίσου μεγέθους. Το σύγχρονο αραβικό κούρδισμα χρησιμοποιεί επίσης την ίση μετρίαση, αλλά χωρίζει την οκτάβα σε 24 αντί για 12. Αυτή η μέθοδος κουρδίσματος διευκολύνει τα πλήκτρα και τα άλλα όργανα να παίζουν σε όλα τα κλειδιά και έτσι αντικατέστησε το απλό κούρδισμα.
Αν ανατρέξουμε στην 12-τονική ισομετρία, η συχνότητα κάθε ημιτονικού βήματος αυξάνεται κατά έναν παράγοντα της δωδέκατης ρίζας του 2, δηλαδή περίπου 1,06. Άρα ένα ημίτονο πάνω από το Α4 που εξετάσαμε πριν (με συχνότητα 440 Hz) έχει συχνότητα (440)x21/12= 466 Hz. Για να βρούμε ένα ημίτονο παραπάνω, πολλαπλασιάζουμε αυτή την απάντηση ξανά με 21/12. Αν το κάναμε αυτό 12 φορές συνολικά, θα φτάναμε στη νότα Α, μια οκτάβα πάνω από το αρχικό μας Α4. Αυτό σημαίνει ότι η οκτάβα παραπάνω, το 12ο ημίτονο, έχει συχνότητα διπλάσια από την αρχική νότα.
Αυτή η πολλαπλασιαστική δομή είναι απαραίτητη για να εξασφαλιστεί ότι κάθε οκτάβα αποτελείται από τον ίδιο αριθμό νοτών. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι οι νότες με συχνότητες 100 Hz και 200 Hz απέχουν μεταξύ τους μια οκτάβα. Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μια προσθετική μέθοδο για να δημιουργήσουμε μια κλίμακα με πέντε νότες ανάμεσα σε αυτές τις δύο νότες, με τις συχνότητες να αυξάνονται κατά 20 Hz κάθε φορά. Ωστόσο, αν προσπαθούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την αύξηση των 20 Hz μεταξύ μιας άλλης οκτάβας, ας πούμε από τις συχνότητες 400 Hz και 800 Hz, αυτό θα οδηγούσε στο να έχουμε 20 νότες σε αυτή την οκτάβα. Αυτό θα σήμαινε ότι ορισμένες νότες θα υπήρχαν μόνο για υψηλότερες φωνές ή όργανα, καθώς θα είχαν περισσότερες νότες στη διάθεσή τους για χρήση. Η χρήση μιας πολλαπλασιαστικής μεθόδου αντίθετα τοποθετεί τις νότες κατάλληλα σε κάθε οκτάβα.
Φυσικά, όλα αυτά είναι μερικά μόνο από τα παραδείγματα για το πώς εμφανίζονται τα μαθηματικά στη μουσική. Υπάρχουν πολλές πιο συναρπαστικές συνδέσεις που θα μπορούσαμε να ερευνήσουμε περαιτέρω!